曲面與曲線

以往的積分都是沿著實數軸，其實也可以在平面上取一條曲線，沿著它積分。（線積分 line integral）

不過在學習線積分之前，我們需要引入一些幾何學上的新物件，它們分別是

  • 曲面（surface）
  • 曲線參數式（parametrization of a curve）

座標平面的慣用記號是 ，空間則是 ，這樣寫帶有積集合（Cartesian product）的感覺。

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平面上的實值函數（Real valued functions on the x-y plane）

給一個座標平面 ，若其上的每個點都有一個實數的函數值 ，

那麼這就是個平面上的實值函數：

它的函數圖形就會像上圖一樣，是個曲面。

一些例子

例 1

思考下列這個曲面的樣子（也可以自己畫畫看）：

形狀不好想的話，可以先畫等高線：

這是個旋轉拋物面（paraboloid of revolution），左邊的三個圓分別是 的情況。

如果定義平面上到原點的距離為 ，那麼剛剛的 函數也可以看成

，只要到原點的距離一樣， 高度就一樣。這說明了旋轉拋物面是由拋物線（parabola）沿著對稱軸旋轉一圈而成的。

例 2

利用這個網站工具觀察下列五個曲面的樣子：

  • 鞍面：
  • 與 無關的面：
  • 在 方向是一次的面：
  • 平面 ：

  • 解釋為甚麼這是圓錐：

看完之後照著畫畫看，並思考它們的等高線長怎樣。

例 3

看看下列兩式的圖形：

它們分別長這樣：

兩者長得有點像，在接近中心處幾乎是一模一樣的。雖然兩者之間有一點關聯1，但放在這裡只是因為它們長得滿好看的。

對於右圖，我以前寫過一個程式來計算它的紙模型的展開圖，並做出來，還滿有趣的。

曲線參數式

曲線可以視為物體運動的軌跡2，例如平面上

是個拋物線的軌跡。透過將 改成 ，我們也可以把曲線改寫成

兩者代表的圖形是一樣的，只是運動速度變兩倍而已。

一般將 的位置看成是運動的起點。

從參數式得到方程式

上面的例子，透過將兩式

消去 ，就可得到曲線的方程式

從參數式化為方程式之後，關於速度、運動方向、起點等訊息都消失了。

例 4

將下列參數式消去 ：

用平方關係消掉 就好了，答案是

因此是個圓。這個參數式代表的是：「以 為起點，順時針巡行單位圓」。

例 5

將下列參數式消去 ：

可想而知，兩式相加可得到 ，不過我們只能取一部份而已：

因此軌跡是個線段3，並不是整個直線。這說明了消去 的手段有時候會誤導人。

空間中的曲線

例 6

試解釋參數式 是個三維空間中的彈簧線。試想彈簧線投影到 平面所能得到的二維圖形。

應該難不倒你。

參數式的本質

本質上，平面上的曲線 的參數式是個把實數 變成座標 的函數

用函數將一條實數軸打到平面上，自然就變成曲線了。

  1. 事實上右圖是左圖在原點的二維泰勒逼近（Taylor approximation），因此在原點附近的行為很像。 ↩

  2. 這其實也不太一定，像 Koch snowflake 每一小段都是無窮長的，不是運動的軌跡。 ↩

  3. 這剛好是簡諧運動（Simple Harmonic Motion，SHM）。用二倍角公式降次可以發現 座標與 座標都是以某種關於 的模式運動。 ↩