歐拉公式與三角函數的指數形式

歐拉公式 $e^{i\theta}=\operatorname{cos}\theta+i\operatorname{sin}\theta$ 讓我們可以定義複數的指數，然後作很多事，比方說

1. 將三角函數寫成指數形式，像雙曲函數 $\sinh=(e^x-e^{-x})/2$、 $\cosh=(e^x+e^{-x})/2$ 一樣。
2. 重寫複數的極式，並證明棣美弗定理
3. 證明代數基本定理（此不討論）

在這之前應該要先證明歐拉公式。證明歐拉公式需要用到微積分中的泰勒展開式（Taylor formula）。

• 泰勒展開式
  • 三次式的係數
  • 物理意義
  • 無窮項的泰勒展開式
  • 無窮多項的盲點
• 歐拉公式
  • 某數的 $i$ 次方
  • 展開三角函數
  • 證明歐拉公式
• 將三角函數寫成指數形式
• 證明棣美弗定理

泰勒展開式

先看一個簡單的例子：

三次式的係數

對於一個未知的三次式 $f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$，如果我們知道 $f(0)$、$f'(0)$、$f''(0)$、$f'''(0)$，那麼我們就可以知道 $f(x)$ 的各項係數，方法如下：

首先，$d$ 是常數項，所以 $d=f(0)$。

其次，$c$ 是 $f'(x)=3ax^2+2bx+1c$ 的常數項，所以 $c=f'(0)$。

再來，$2b$ 是 $f''(x)=3\cdot 2ax+2\cdot 1b$ 的常數項，所以 $b=\frac{1}{2!}f''(0)$。

最後，$6a$ 是 $f'''(x) = 3\cdot 2\cdot 1\cdot a$ 的常數項，所以 $a=\frac{1}{3!}f'''(0)$

因此多項式 $f(x)$ 可以表示為 $$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3.$$

以此為發想，一個 $n$ 次多項式總是可以重新表示成

$$f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k$$

，其中 $f^{(k)}(0)$ 代表 $f$ 在原點的第 $k$ 階導數。

這就是多項式在原點的泰勒公式。

物理意義

這裡有一點物理意義：如果一個系統是以多項式的模式在演變，比方說氣溫，那麼只要測量現在的氣溫、現在的氣溫變化率、變化率的變化率 …，就可以知道未來每一刻的溫度了。

但是氣溫不可能以多項式演變，因為高次多項式增長的速度非常快，所以這種預測並不能預測很久以後的氣溫。

如果是測量物體運動的話，

$$x(t) = x(0) + \frac{x'(0)}{1!} t + \frac{x''(0)}{2!} t^2 + \cdots$$

前三項就是等加速度公式（也就是說，$a(t) = a_{\textit{(const)}},\ x'''(t)=0$ 的情況）

$$x(t)-x(0) = \Delta x = \frac{v(0)}{1!}t+\frac{a}{2!}t^2$$

無窮項的泰勒展開式

泰勒展開式可以用來展開非多項式的函數，想當然耳，其展開後該要有無窮多項，否則就是多項式了。「無窮項的多項式」不能稱做多項式，應該稱做冪級數。

冪級數指的是具有下列形式的級數： $$p(x) = \sum _{k=0} ^{\infty} p_kx^k$$

現在把泰勒展開式的公式改寫成無窮項的冪級數： $$f_{\mathrm{taylor}}(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k$$

無窮多項的盲點

並不是所有函數的泰勒展開式都和原本一模一樣，所以上面的式子才會說它是個新函數 $f_{\mathrm{taylor}}(x)$。

有時候 $f_{\mathrm{taylor}}(x) \neq f(x)$ ，體認到這點是非常重要的，現在舉個例子來看：

函數 $f(x)=\frac{1}{1-x}$ 的結果是 $$f_{\mathrm{taylor}}(x) = 1+x+x^2+x^3+... = \sum_{k=0}^{\infty} x^k$$

要實際展開來驗證也可以，不過當成等比級數來看的話這結果是顯而易見的。

無窮等比級數的公比 $x$ 必須滿足範圍 $-1<x<1$，所以 $f_{\mathrm{taylor}}$ 在這範圍外是沒有值的。但是 $f(x)=\frac{1}{1-x}$ 只在 $x=1$ 的地方沒有值，所以這是兩個不一樣的函數。

應該試著去想 $f_{\mathrm{taylor}}(x)$ 和 $f(x)$ 的圖形差在哪裡。（前者只是後者的一部份）

下圖為利用 $1\sim6$ 次多項式（藍色）逼近 $\frac1{1-x}$ （紅色）的圖形：

歐拉公式

被稱做歐拉公式的式子太多了，這裡指的是

$$e^{ix}=\operatorname{cos}x+i\operatorname{sin}x$$

某數的 $i$ 次方的概念就是從這裡定義的。

某數的 $i$ 次方

來計算 $e^x$ 的泰勒展開式。為了符號方便，定義函數 $\operatorname{exp}x=e^x$。

根據泰勒展開式：

$$\operatorname{exp}x=\operatorname{exp}0+\frac{\operatorname{exp}'0}{1!}x + \frac{\operatorname{exp}''0}{2!}x^2+...$$

由於 $\operatorname{exp}x$ 是個特殊函數，其 $n$ 階導數都是 $\operatorname{exp}x$ 本身，所以 $\operatorname{exp}' ' 0 = \operatorname{exp}' 0 = \operatorname{exp} 0 = 1$ ，展開式簡化為

$$\operatorname{exp}x=1+\frac{1}{1!}x + \frac{1}{2!}x^2+...$$

注意到這樣 $\operatorname{exp}x$ 就可以代虛數進去了。代純虛數 $ix$ 進去看看：

$$\operatorname{exp}ix=1+\frac{1}{1!}ix + \frac{1}{2!}i^2x^2+\frac{1}{3!}i^3x^3+\frac{1}{4!}i^4x^4+\frac{1}{5!}i^5x^5+...$$

利用 $i^2=-1$ 簡化為

$$\operatorname{exp}ix=1+\frac{1}{1!}ix - \frac{1}{2!}x^2-\frac{1}{3!}ix^3+\frac{1}{4!}x^4+\frac{1}{5!}ix^5...$$

展開三角函數

要展開 $\operatorname{sin}x$，需要算它在 $0$ 處的各階導數：

•  $\operatorname{sin}0 =0$
•  $\operatorname{sin}'0 = \operatorname{cos}0=1$
•  $\operatorname{sin}''0 = -\operatorname{sin}0=0$
•  $\operatorname{sin}'''0 = -\operatorname{cos}0=-1$
•  $\operatorname{sin}''''0 =\operatorname{sin}0=0$

發現是 0, 1, 0, -1, … 循環，所以

$$\operatorname{sin}x = x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-...$$

用類似的方法可以展開 $\operatorname{cos}x$

$$\operatorname{cos}x = 1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-...$$

證明歐拉公式

 $\operatorname{sin}x$、$\operatorname{cos}x$、$e^x$ 都展開完了，接下來可以直接證明歐拉公式。

$$\begin{aligned} \operatorname{cos}x+i\operatorname{sin}x &= (1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-...) + (ix-\frac{1}{3!}ix^3+\frac{1}{5!}ix^5-...)\\ &= 1+\frac{1}{1!}ix - \frac{1}{2!}x^2-\frac{1}{3!}ix^3+\frac{1}{4!}x^4+\frac{1}{5!}ix^5...\\ &= \operatorname{exp}ix. \end{aligned}$$

從倒數第二行到最後一行，就是用剛剛推導出來的 $\operatorname{exp}ix$ 的公式。

值得注意的是，複數的極式 $r(\cos \theta+i\sin \theta)$ 以後就要簡寫成 $re^{i\theta}$。

將三角函數寫成指數形式

根據 $e^{ix}=\operatorname{cos}x+i\operatorname{sin}x$ ，我們也有

$$e^{-ix}=(\operatorname{cos}-x)+(i\operatorname{sin}-x) = \operatorname{cos}x-i\operatorname{sin}x$$

。所以

$$\operatorname{cos}x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$ $$\operatorname{sin}x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$

這算是指數形式的三角函數，和 $\operatorname{sinh}x$、$\operatorname{cosh}x$ 雷同。

證明棣美弗定理

棣美弗定理說明一個複數的 $n$ 次方的行為：

$$[r(\operatorname{cos}\theta+i\operatorname{sin}\theta)]^n=r^n(\operatorname{cos}n\theta+i\operatorname{sin}n\theta)$$

棣美弗定理用歐拉公式來證明，是再簡單不過了：

$$[r(\operatorname{cos}\theta+i\operatorname{sin}\theta)]^n=(re^{i\theta})^n = r^ne^{in\theta}=r^n(\operatorname{cos}n\theta+i\operatorname{sin}n\theta)$$

這樣就證完了。