群的定義與基礎概念

群是當代代數學中研究的主題之一。

這篇文章之中，只會擷取一些關於群(Group)的基礎意義與結構，目的是幫助初步認識群的人建構定義與概念，所以內容偏簡單。

這只是其中一個認識群的方式。從幾何上的對稱性或 $\mathbb{S}_n$ （對稱群）來了解群也很不錯，或許會再寫。

• 一、群的觀念
  • 集合上的運算
  • 運算的記號
  • 群的定義與意涵
  • 舉例
  • 關於數學結構
• 二、群同態
  • 定義
  • 同態的意義
  • 舉例
• 三、兩個群的直積
  • 定義

一、群的觀念

集合上的運算

數學家研究代數，必須要指定好在什麼集合上做什麼運算，例如在整數上做加法、在複數上做加法、在正實數上作乘法等，這樣才能界定討論的空間。而群就是一個這樣的「集合與運算」。

群是一個集合 $G$ 搭配一個二元運算 $+$ 所構成的代數結構，記為 $(G, +)$ 或 $G$，這裡的 $+$ 是一個二元函數 $+:(G\times G)\rightarrow G$，其接受兩個參數並回傳一個應變數，不過我們通常把 $+(1,2)=3$ 寫成 $1+2=3$，以後也用這種寫法。

運算的記號

這些運算的記號有一些變化，這裡先規範好。有時候我們研究的是加法，有時候是乘法，不同的群所使用的運算符號可能不同。

• 整數的集合 $\mathbb{Z}$ 與其上的運算($+$)是一個群$(\mathbb{Z}, +)$，方才我們說要把函數 $+(1, 2)=3$ 記為 $1+2=3$。

• 正實數 $\mathbb{R}^+$ 與其上的乘法($\cdot$)也是一個群。除了把 $\cdot(2,3)=6$ 寫成 $2 \cdot 3 = 6$ ，如果算式含有未知數或字母，我們也會省略點號，寫成 $ab = c$。

我們接下來遇到的運算，如果看起來明顯不像一般的加法，就通通叫做乘法，並使用這種類似相乘的符號。

群的定義與意涵

數學家對群有一些規範，滿足這三個群公理才能稱作群：

Axioms	#
結合律	對於所有 $a, b, c \in G$，都有 $(ab)c=a(bc)$
單位元素	$G$ 中有一個元素 $e$ 可以對所有 $a\in G$ 都滿足 $ae=ea=a$
反元素	對於所有 $a\in G$ 都找得到唯一的 $b\in G$ 使得 $ab=e$，我們稱 $b$ 為 $a$ 的反元素，記為 $b=a^{-1}$

我們會加上運算封閉性的前提，但有時候也可以事先寫明二元運算的值域為 $G$ 本身，就等於規範了封閉性。

這樣的規定有一點代數上的意義：它使方程式 $ax=b$ 確定能被解開，過程是這樣的：

1. 根據反元素性質，$a^{-1}$存在。
2. 兩邊同乘以 $a^{-1}(ax)=a^{-1}b$
3. 根據結合律，$(a^{-1}a)x=a^{-1}b$
4. 根據反元素性質，$ex=a^{-1}b$
5. 根據單位元素性質，$x=a^{-1}b$ ，這就是解。

如果運算有交換律，則我們說它是阿貝爾群：

Axioms	#
交換律	對於所有 $a, b \in G$, 有 $ab=ba$

舉例

常見的例子有：

• 整數與加法 $(\mathbb Z,+)$，也稱無限循環群。這是個阿貝爾群。

• 一般線性群 $\mathrm{GL}_n$，用來代表所有 $n\times n$ 的可逆矩陣，而兩元素間的運算是矩陣乘法。由於矩陣的乘法沒有交換率，因此這不是阿貝爾群。

• 有限循環群 $\mathbb{Z}_n$：集合為 $\{0, 1, ..., n-1\}$ ，運算是相加並取 $\operatorname{mod} n$（除以 $n$ 後取餘數），而單位元素則是 $0$，可以檢驗這是阿貝爾群。一天 24 小時的循環可以視為 $\mathbb{Z}_{24}$，每天 23 時再過一小時就回到 0 時。

•  $\mathbb{Z}\otimes \mathbb{Z}$：平面上的格子點座標，運算是座標的加法 $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$。 $\otimes$ 是一個建構新的群的方法，類似積集合。

• 對稱群 $S_n$：將 n 個排好的物品重新排列的方法，可以構成一個群。兩個排列方法 $a, b$ 的相加就是先用 $a$ 方法排列，再把排好的物品繼續用 $b$ 方法排列。而單位元素就是不重新排列。

以下這些例子不是群

1. 實數上的乘法 $(\mathbb{R},\cdot)$ 不是群，因為 $0$ 沒有反元素。

2. 所有二階方陣 $M_{2\times 2}$ 上的矩陣乘法不是群，因為其中的不可逆方陣沒有反元素。

關於數學結構

像這樣集合搭配某個關係的數學結構隨處可見。除了群以外，$(\mathbb{N}, \leq)$ 是整數上的順序結構、$(\mathbb{R}^3, +, \times)$ 是一個向量空間、$(\mathbb{R}, |\cdot |)$ 是實數與其上的距離、$G(e, v)$ 是一個圖，因此不需要對群的記號感到太陌生。

二、群同態

群是集合，兩個集合之間會有函數，而兩個群之間也有。同態 (homomorphism) 是兩個群之間「有群的意義的函數」（從範疇論來說就是態射）。研究兩個群之間的關係時，我們鮮少討論同態之外的函數。

來看群同態的定義：

定義

令 $G$ 與 $H$ 是兩個群，$f$ 是一個 $G$ 到 $H$ 的函數 $f:G \rightarrow H$。 如果 $f$ 是個群同態，代表它對於所有 $a, b \in G$ 滿足下列的條件：

 $f(a)f(b)=f(ab)$

用加法的記號來寫就是

 $f(a)+f(b)=f(a+b)$

單從算式來看，可以說成「先代入 $f$ 再乘（加），等同於先相乘（加）再代入 $f$」，或是「$f$ 中的相乘（加）可以被拆開」。

同態的意義

一個同態 $f:G\to H$ 的定義可以改寫為：

 $ab=c \implies f(a)f(b)=f(c)$

所以我們有更精確的理解：群同態是一個保持運算行為的函數，如果 $G$ 中有 $ab=c$，則 $H$ 中有 $f(a)f(b)=f(c)$ 。

這就是群同態值得討論的原因。如果一個函數在映射時不保持結構，那麼它只是把 $G$ 與 $H$ 當作普通的集合（而不是群）來對待罷了。

舉例

• 把平面座標上的格子點投影到 x 軸上，則這個投影函數 $$\operatorname{Proj}_x:(a,b)\mapsto a$$ 是一個同態，我們可以檢驗下面的例子： $$\operatorname{Proj}_x(2, 1) + \operatorname{Proj}_x(3, 5) = 2+3 = \operatorname{Proj}_x((2, 1)+(3, 5))$$

•  $f:x\mapsto (x \operatorname{mod} n)$ 把所有 $(\mathbb{Z}, +)$ 中的整數取 $\operatorname{mod} n$ 以對應到循環群 $\mathbb{Z}_n$ 。根據同餘關係這樣的對應也是同態。

三、兩個群的直積

直積是構造新的群的方法，類似用兩個集合相乘來製造積集合。

定義

兩個群 $G$ , $H$ 的直積 $G\otimes H$ 是一個群，其中的元素是集合 $G$ 與集合 $H$ 的積集合： $$(g_i, h_j) \in (G\times H)$$ ，而兩個序對之間的運算則定義為分量個別運算： $$(g_1, h_1) (g_2, h_2) = (g_1 g_2, h_1 h_2)$$

例如之前提到平面上的格子點 $\mathbb Z \otimes \mathbb Z$ 就是兩個整數群 $\mathbb Z$ 的直積。

直積有更一般的定義，只是為了採取簡單的解說方式而用了這個。這個定義只適用有限個群相乘。

在只有有限個個群相乘時，直積與「直和」是一樣的，箇中差異現在提或許有點早。

---

至於商群是很重要的東西，它就像是群論版本的商集（等價類）一樣。會再開一篇文章討論。